[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72386-es":3,"doc-seo-72386-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72386,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Integrales - Selectividad Andalucía 2007 Matemáticas II Tema 5","Documento de problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2007) del Tema 5: Integrales. Incluye varios enunciados con opciones (Junio, Reservas y ejercicios 2) y sus soluciones desarrolladas. Se estudian funciones y sus gráficas (puntos de corte, extremos, crecimiento/decrecimiento), además del cálculo de áreas entre curvas o con ejes mediante integrales definidas. También se incluyen técnicas de integración: primitivas con logaritmo neperiano, integrales con cambio de variable, y condiciones de continuidad y derivabilidad para determinar parámetros en funciones a trozos.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nSean f : 􀀁 → 􀀁 y g : 􀀁 → 􀀁 las funciones definidas mediante  \nf ( x) = x 3 + 3x2 y g( x) = x + 3  \na) Esboza las gráficas def y de g calculando sus puntos de corte.  \nb) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas def y g. MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Para dibujar la funciónf (x) = x 3 + 3x2 , vamos a calcular sus extremos relativos y puntos de corte con los ejes.  \nf '(x) = 3x2 + 6x = 0 ⇒ x = 0 ; x = −2  \nf ''(x) = 6x + 6  \nf ''(0) = 6 > 0 ⇒ mínimo (0, 0)  \nf ''(− 2) = −6 \u003C 0 ⇒ Máximo (− 2, 4)  \nLa función corta al eje X en (0, 0) y (− 3, 0) .  \nPara dibujar la función g (x) = x + 3 , basta con hacer una tabla de valores, ya que es una recta.  \nVemos claramente en el dibujo que las funciones se cortan en los puntos: (− 3, 0) ; (−1, 2) y (1, 4) b)  \nA1 = ∫ −−31 (x 3 + 3x 2 ) − (x + 3)  dx =∫ −−31 (x 3 + 3x 2 − x − 3)dx = 􀀉􀀇􀀋 ~~ ~~x44~~ ~~ + x 3 − ~~ ~~x22~~ ~~ − 3x􀀈􀀌􀀊  \n−1 = 4u2  \n−3  \nA2 = ∫1 (x + 3) − (x 3 + 3x 2 )  dx =∫1 (−x3 − 3x 2 + x + 3)dx = 􀀉􀀇􀀋 − ~~ ~~x44~~ ~~ − x 3 + ~~ ~~x22~~ ~~ + 3x􀀈􀀌􀀊  \n1 = 4u  \n−1  \n2  \nDada la función f : 􀀁 → 􀀁 definida por f ( x) = Ln (1 + x 2 ) , halla la primitiva def cuya gráficapasa por el origen de coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano).  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \n∫ Ln (1 + x2 ) dx = x ⋅ Ln (1 + x 2 ) − ∫ ~~ ~~122~~ ~~ dx = x ⋅ Ln (1 + x 2 ) − ∫ 2 dx + ∫ ~~ ~~1~~ ~~+2x~~ ~~2~~ ~~ dx == x ⋅ Ln (1 + x 2 ) − 2x + 2 arc tg x+ C  \nu = Ln (1 + x 2 ); du = ~~ ~~1xx2 dx dv = dx ; v = x  \nDe todas las primitivas def(x)  \nF (x) = x ⋅ Ln (1 + x 2 ) − 2x + 2 arc tg x+ C  \nnos piden la que pasa por el punto (0, 0) , luego:  \nF (0) = 0 ⋅ Ln(1 + 02 ) − 2 ⋅ 0 + 2 arc tg 0 + C = 0 ⇒ C = 0  \nPor lo tanto, la primitiva que nos piden es: x ⋅ Ln (1 + x 2 ) − 2x + 2 arc tg x  \nConsidera las funciones f : 􀀁 → 􀀁 y g : 􀀁 → 􀀁 definidas por  \nf ( x) = ex −− 1 y g( x) = e 1−− x  \na) Esboza las gráficas def y de g y determina su punto de corte.  \nb) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas def y g. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La gráfica de f (x) = ex −1 , es exactamente igual que la de ex pero desplazada una unidad a laderecha en abscisas OX (en negro) .  \nComo g (x) = e 1− x = e ⋅ e − x , sabemos que la gráfica de e − x es exactamente igual que la de ex perosimétrica respecto al eje de ordenadas OY, y al estar multiplicada por e, está dilatada a lo largo de dicho eje OY. En concreto si x = 0, g(0) = e, por tanto un esbozo de dichas gráficas es  \nPara encontrar el punto de corte igualamos las funciones ex −1 = e 1− x ⇒ x −1 = 1 − x ⇒ x = 1 , con lo cual el punto de corte es (1,1) .  \nb) A = ∫  \n1  \n0  \n( e 1− x − ex −1) dx = − e1− x − ex −1 10 = − 1−1 + e + ~~ ~~1e = −2 + e + ~~ ~~1e u 2  \nSea f : 􀀁 → 􀀁 la función definida por f ( x) = x ( x − 3) 2 .  \na) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def.  \nb) Haz un esbozo de la gráfica def.  \nc) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la derivada de la función f (x) = x (x − 3) 2 = x (x2 − 6x + 9) = x 3 − 6x2 + 9x  \nf '(x) = 3x2 −12x + 9 = 0 ⇒ x = 1 ; x = 3  \n\n|  | (−∞,1) | (1,3) | (3, ∞ ) |\n| --- | --- | --","cbCaipDmGJOPsXUX","https://ap.wps.com/l/cbCaipDmGJOPsXUX","pdf",851120,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 5: Integrales\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 3, Ejercicio 2 (Opción A)","[{\"question\":\"Cómo se determinan los puntos de corte y los extremos en los ejercicios de gráficas?\",\"answer\":\"Se derivan las funciones para localizar críticos (f'(x)=0) y se usa la segunda derivada para clasificar máximos o mínimos. 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