[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69456-es":3,"doc-seo-69456-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69456,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II (Comunidad de Madrid, Resueltos) - Año 2007","Recopilación de problemas de Matemáticas II de la Selectividad en la Comunidad de Madrid, modelo 2007 con opciones A y B, presentando en cada ejercicio el planteamiento y una solución desarrollada. Incluye geometría analítica en rectas y planos (áreas de triángulos, planos perpendiculares e intersección de planos), análisis de sistemas lineales con parámetro k (discusión y clasificación de soluciones) y aplicaciones del teorema fundamental del cálculo (integrales, derivadas y rectas tangentes).","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 8 A~no 2007  \n8.1. Modelo 2007-Opci􀀓on A  \nProblema 8.1.1 (2 puntos) Se considera la recta ( x +x2 =3z0= 0 y el punto P (1; 1 ; 1) . Dado el punto Q(0; 0 ; 0) de r, hallar todos los puntos A contenidos en r tales que el tri􀀓angulo de v􀀓ertices A, P y Q tenga 􀀓area 1 .  \nSoluci􀀓on:  \nUn punto A (x; y; z) de la recta ser􀀓􀀐a  \n>8 x = 􀀕  \n\u003C y = 􀀕 =) A (􀀕; 􀀕; 􀀀􀀕):> z = 􀀀􀀕  \n􀀀! 􀀀􀀀!  \nQA = (􀀕; 􀀕; 􀀀􀀕); QP = (1 ; 1 ; 1)  \n􀀌 i j k 􀀌  \nS = 1 j 􀀌 􀀕 􀀕 􀀀􀀕 􀀌 j = 1 j(2􀀕; 􀀀2􀀕; 0)j = p2􀀕2 = 1  \n2 􀀌 1 1 1 􀀌 2  \nLuego: 􀀕 = 􀀆 ~~ ~~p22 =) A ~~ ~~p22 ; p22 ; 􀀀 p22 ! y A 􀀀 p22 ; 􀀀 p22 ; p22 ! Problema 8.1.2 (2 puntos)  \na) (1,5 puntos) Calcula la ecuaci􀀓on general de un plano 􀀙 1 que contiene  \na la recta  \n8  \n>  \nr : \u003C>  \n:  \nx = 1 + 􀀕 y = 􀀀1 + 2􀀕 z = 􀀕  \ny es perpendicular al plano 􀀙2 : 2x + y 􀀀 z = 2 .  \nb) (0,5 puntos) Determinar la ecuaciones param􀀓etricas de la recta intersecci􀀓on de los planos 􀀙 1 y 􀀙2 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nr : ( uP!􀀀rr (=1; 1; 2; 0; 1)) !􀀙 2 = (2 ; 1 ; 􀀀1)  \n>8 u!􀀀r = (1 ; 2 ; 1) 􀀌 1 2 x 􀀀 1 􀀌  \n􀀙 1 : \u003C !􀀙 2 = (2 ; 1 ; 􀀀1) =) 􀀌 2 1 y + 1 􀀌 = 0 =) x􀀀y+z􀀀2 = 0 :> Pr(1; 􀀀1; 0) 􀀌 1 􀀀1 z 􀀌  \nb)  \n( x2xyyzz 􀀀􀀀22 00 =) \u003C xyz   ~~2~~3 + 􀀕 Problema 8.1.3 (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+ ky+ k 2 z = 1 x+ ky 􀀀 kz = k 2 􀀀x+ ky 􀀀 k 2 z = k 2  \na) (2 punto) Discutirlo seg􀀓un los distintos valores de k.  \nb) (1 punto) Resolverlo para k = 􀀀1.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nA = 0B 11 kk 2k  k12 1C ; jAj = 2k2 (k+1) = 0 =) k = 0; k = 􀀀1 @ 􀀀1 k 􀀀k2  k 2 A  \nSi k  0 y k  􀀀1 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 = node inc􀀓ognitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tienesoluci􀀓on 􀀓unica.  \nSi k = 0:  \n  0 1 0 0  1 1 A = B 1 0 0  0 C @ 􀀀1 0 0  0 A  \nEl Rango(A) = 1, dado que las tres 􀀌las son iguales. Sin embargo el menor 􀀌 11 10 􀀌 = 􀀀1  0 =) Rango(A) = 2 . Por tanto, Rango(A) Rango(A) =) Sistema Incompatible (No tiene Soluci􀀓on) . Si k = 􀀀1:  \n  0 1 􀀀1 1  1 1  \nA = B 1 􀀀1 1  1 C  \n@ 􀀀1 􀀀1 􀀀1  1 A    \nLa matriz tiene dos primeras 􀀌las iguales, luego Rango(A) =Rango(A) \u003C no inc􀀓ognitas=) Sistema Compatible Indeterminado (In􀀌nitas Soluciones) .  \nb)  \n( 􀀀 xx􀀀 yy zz  11 =)  xyz  􀀀􀀀􀀕􀀕1 Problema 8.1.4 (3 puntos)  \na) (1 puntos) Si f es una funci􀀓on continua, obtener F0 (x) siendo F (x) = Z0x (f(t) + t2 + t3 ) dt  \nb) (2 punto) Si f(1) = 1 y adem􀀓as R01 f (t)dt = 1, hallar la ecuaci􀀓on de la recta tangente a la gr􀀓a􀀌ca de F (x) en el punto (1; F (1)) .  \nSoluci􀀓on:  \na) Por el teorema fundamental del c􀀓alculo sabemos que si f es una funci􀀓on continua si  \nF (x) = Zax f (t) dt =) F0 (x) = f(x) Luego F0 (x) = f(x) + x2 + x3  \nb)  \nm = F0 (1) = f (1) + 2 = 3  \nF (1) = Z01 (f(t)+t2 +t3 ) dt = Z01 f (t) dt+Z01 t2 dt+Z01 t3 dt = 1+ t~~ ~~33 + t~~ ~~44\\#10 =  \n= 1 + 13 + 14 = 194  \n19  \ny 􀀀 = 3(x 􀀀 1) 4  \n8.2. Modelo 2007-Opci􀀓on B  \nProblema 8.2.1 (2 puntos) Dada la funci􀀓on f (x) = 6x2 􀀀 x3 , se pide:  \na) (1 punto) Hallar un valor a > 0 tal que la recta tangente a la gr􀀓a􀀌cade f en el punto (a; f(a)) sea paralela a la recta y = 􀀀15x.  \nb) (1 punto) Hallar el 􀀓area de la regi􀀓on acotada limitada por la gr􀀓a􀀌cade f y la parte positiva del eje OX .  \nSoluci􀀓on:  \na) La pendiente de la recta tangente es m = f0 (a) = 􀀀15  \nf0 (x) = 12x􀀀3x2 =) m = f0 (a) = 12a􀀀3a2 = 􀀀15 =) a = 5; a = 􀀀1  \nComo a > 0 =) la soluci􀀓on buscada es a = 5 y, por tanto, comof (5) = 25 =) (5 ; 25) es el punto buscado.  \nb) Los puntos de corte con el eje OX son  \n6x2 􀀀 x3 = 0 =) x = 0; x = 6  \nS = Z06 (6x2 􀀀 x3 ) dx = 2x3 􀀀 x44\\#60 = 108 u2 Problema 8.2.2 (2 puntos) Obtener el valor de k sabiendo que  \nx 􀀒 x~~ ~~+x~~ ~~3 􀀓 kx+5 = e2  \nSoluci􀀓on:  \nx 􀀒 x~~ ~~+x~~ ~~3 􀀓 kx+5 = [11] = e􀀕  \n􀀕 = x(kx + 5) 􀀒 x~~ ~~+x~~ ~~3 􀀀 1􀀓 = 3k Luego 3k = 2 =) k = 2  \n3 .  \nProblema 8.2.3 (3 puntos) Se consideran el punto P (1; 0 ; 1) y la recta:  \nr : x~~ ~~~~ ~~1 =  \ny   z + 1 =  \n2 􀀀1  \ny el plano 􀀙 : x + y + z = 0 . Se pide:  \na) (1,5 ","cbCaieRVgJnW2HSJ","https://ap.wps.com/l/cbCaieRVgJnW2HSJ","pdf",3469450,5,1,21,"Spanish","es",110,"# Capítulo 8: Año 2007\n## Modelo 2007 - Opción A\n## Modelo 2007 - Opción B","[{\"question\":\"Qué resultados se obtienen al discutir el sistema con parámetro k en el Problema 8.1.3?\",\"answer\":\"Se clasifican los valores de k según el rango de la matriz de coeficientes: para algunos valores el sistema es incompatible (sin solución), para otros compatible determinado (solución única) y para otro compatible indeterminado (infinitas soluciones).\"}]","Problemas de Selectividad de Matemáticas II (Comunidad de Madrid, Resueltos) - Año 2007 | PDF",1784014253,32,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"entrance-exam-problems-mathematics-ii-community-of-madrid-solved-year-2007","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/entrance-exam-problems-mathematics-ii-community-of-madrid-solved-year-2007/69456/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-30","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué resultados se obtienen al discutir el sistema con parámetro k en el Problema 8.1.3?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se clasifican los valores de k según el rango de la matriz de coeficientes: para algunos valores el sistema es incompatible (sin solución), para otros compatible determinado (solución única) y para otro compatible indeterminado (infinitas soluciones).","Answer","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":81,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":83,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":86},[87,92,96,98,102,106,110,114,118,122],{"id":88,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":89,"show_sort_weight":90,"slug":91},39,"Cómic",60,"comic",{"id":93,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":94,"show_sort_weight":90,"slug":95},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":90,"slug":97},"exam",{"id":99,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":100,"show_sort_weight":90,"slug":101},44,"General","general",{"id":103,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":104,"show_sort_weight":90,"slug":105},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":107,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":108,"show_sort_weight":90,"slug":109},37,"Literatura","literature",{"id":111,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":112,"show_sort_weight":90,"slug":113},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":115,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":116,"show_sort_weight":90,"slug":117},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":119,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":120,"show_sort_weight":90,"slug":121},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":123,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":124,"show_sort_weight":90,"slug":125},24,"Tecnología","technology"]