[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72337-es":3,"doc-seo-72337-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72337,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio Afín y Euclídeo - Matemáticas II 2008 (Tema 3, Problemas Resueltos)","Colección de problemas resueltos de Matemáticas II correspondientes al Tema 3: Espacio afín y euclídeo, del año 2008. Incluye varias opciones y convocatorias (junio, reservas 1 y 2) con ejercicios sobre rectas y planos: paso de ecuaciones a formas paramétricas o implícitas, determinación de planos que contienen o son perpendiculares a una recta, cálculo de puntos mediante condiciones geométricas y estudio de relaciones entre rectas y planos (paralelismo, contención y posición relativa), obteniendo las ecuaciones finales a partir de vectores y productos vectoriales/escalara.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nDada la recta r definida por: x~~ ~~~~ ~~1 = ~~ ~~y~~ ~~~~ ~~1 = ~~ ~~z~~ ~~~~ ~~2  \na) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.  \nb) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \nx −1  y + 1  z − 2  􀀃3x − 2 y − 5 = 0  \na) Pasamos la recta a implícitas: = = ⇒ 􀀆  \n2 3 1 􀀇 x − 2z + 3 = 0  \nCalculamos la ecuación del haz de planos:  \n3x − 2 y − 5 + k (x − 2z + 3) = 0 ⇒ (3 + k )x − 2 y − 2kz − 5 + 3k = 0 Como queremos que pase por el origen, tenemos:  \n(3 + k ) ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 − 2k ⋅ 0 − 5 + 3k = 0 ⇒ k = ~~ ~~53  \nLuego, el plano que nos piden es:  \n3x − 2 y − 5 + ~~ ~~53 (x − 2z + 3) = 0 ⇒ 7x − 3y − 5z = 0  \nb) El vector director de la recta es el vector normal del plano, luego, su ecuación será:  \n2x + 3y + z + D = 0  \nComo queremos que pase por el origen:  \n2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 0 + D = 0 ⇒ D = 0  \nLuego, el plano que nos piden es: 2x + 3y + z = 0  \nDados los puntos A(2,1,1) y B (0, 0,1) , halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vérticesA, B y C es 2.  \nMATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \nEl punto C como está en el eje OX, tendrá de coordenadas C(a, 0, 0) . Calculamos los vectores  \n→ →  \nAB = (−2, −1, 0) y AC = (a − 2, −1, −1) y calculamos su producto vectorial:  \n→ → →  \ni j k  \n−2 −1 0  = (1, −2, a)  \na − 2 −1 −1  \nS =  1 |  ∧  | = ⇒ 2 =  1  1 + 4 + a 2  ⇒ a = ±  11  \n2 2  \nLuego, el punto C puede ser C ( 11, 0, 0) ó C ( −  11, 0, 0)  \nLos puntos A = ( − 2, 3,1) , B = (2, − 1, 3) y C = (0,1, − 2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.  \na) Halla las coordenadas del vértice D.  \nb) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.  \nc) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.  \nMATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \n→ →  \na) Si ABCD son los vértices de un paralelogramo. Los vectores libres AB y DC son iguales:  \n→ 􀀂  \nAB = (4, − 4, 2) 􀀅 → →  \n􀀇 ⇒ AB = DC ⇒ D = (− 4,5, − 4)  \n→DC = (−x,1− y, − 2 − z)􀀈􀀅  \n→  \nb) La recta pasa por el punto B = (2, −1,3) y como vector director el AC = (2, − 2, −3) . Su ecuación continua es  \nx − 2   y + 1  z − 3  \n= =  \n2 − 2 −3  \n→  \nc) El plano viene definido por el punto B = (2, −1,3) y los vectores BA = (− 4, 4, − 2) y  \n→  \nBC = (− 2, 2, −5) , luego, su ecuación es:  \n\n| x − 2 | − 4 | − 2 |\n| --- | --- | --- |\n| y + 1 | 4 | 2 |\n| z − 3 | − 2 | −5 |\n\n= 0 ⇒ x + y −1 = 0  \n􀀇2x + y − mz = 2  \nSea la recta r dada por 􀀉 y el plano π definido por x + my − z = 1  \n􀀊x − y − z = − m  \na) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos?.  \nb) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano?.  \nc) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0 ?. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 4.OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos el vector director de la recta.  \n\n| → | → | → |\n| --- | --- | --- |\n| i | j | k |\n| 2 | 1 | − m |\n| 1 | −1 | −1 |\n\n= (−1− m, 2 − m, −3)  \nSi la recta es paralela al plano el producto escalar del vector director de la recta  \n→ →  \nu = (−1− m, 2 − m, −3) y el vector normal del plano n = (1, m, −1) debe valer cero.  \n→ →  \nu⋅ n = 0 ⇒ − 1− m + 2m − m2 + 3 = 0 ⇒ − m 2 + m + 2 = 0 ⇒ m = − 1 ; m = 2  \nb) Formamos el sistema con las tres ecuaciones. ","cbCaigfI9pOM6K0l","https://ap.wps.com/l/cbCaigfI9pOM6K0l","pdf",834104,5,1,13,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 2, Ejercicio 4\n## Opción A","[{\"question\":\"Cómo se obtiene la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene la recta r en el ejercicio de Junio opción A?\",\"answer\":\"Se expresa la recta en forma implícita, se plantea un haz de planos dependiente de un parámetro y se impone la condición de que el plano pase por el origen para fijar el parámetro. Con ello se obtiene la ecuación final del plano.\"},{\"question\":\"En el ejercicio de Junio opción B, cómo se determinan los puntos C en el eje OX para que el área del triángulo ABC valga 2?\",\"answer\":\"Se toma C(a,0,0) al estar en el eje OX, se calculan los vectores AB y AC y se usa el módulo del producto vectorial para relacionar el área con |AB×AC|. 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