[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72336-es":3,"doc-seo-72336-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72336,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio afín y Euclídeo - Matemáticas II 2007 Andalucía (Problemas resueltos)","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (Andalucía, 2007) del Tema 3: espacio afín y Euclídeo. Incluye ejercicios de rectas y planos en el espacio tridimensional: rectas paralelas a la intersección de planos, puntos que equidistan y pertenecen a dicha recta, determinación de parámetros para planos y rectas, condiciones de perpendicularidad y pertenencia, y cálculo de parámetros α y β en relaciones recta–plano, además de planteamientos de distancia asociada a simetría respecto a una recta.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nConsidera los planos de ecuaciones: x − y + z = 0 y x + y − z = 2  \na) Determina la recta que pasa por el punto A (1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados. b) Determina los puntos que equidistan de A (1, 2, 3) y B (2,1, 0) y pertenecen a la recta intersecciónde los planos dados.  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La recta debe ser paralela a la recta intersección de los dos planos. Calculamos, por tanto, el vector director de dicha recta.  \n\n| → | → | → |\n| --- | --- | --- |\n| i | j | k |\n| 1 | −1 | 1 |\n| 1 | 1 | −1 |\n\n→ → → → → →  \n= i + j + k + k + j − i = (0, 2, 2)  \n􀀅x = 1  \n􀀆  \nLuego, la ecuación de la recta pedida en forma paramétrica será: 􀀇 y = 2 + 2t  \n􀀈􀀆 z = 3 + 2t  \nb) Las coordenadas de cualquier punto de la recta intersección de los dos planos, será:  \nx − y + z =  \nx + y − z =  \nx = 1 􀀉 0 􀀉 􀀆  \n􀀋 ⇒ y = 1 + z 􀀋 ⇒ C (1,1+ t, t)  \n2 􀀌 z = t 􀀌􀀆  \n→ →  \nLos módulos de los vectores AC = (0, t −1, t − 3) y BC = (−1, t, t) , tienen que ser iguales, luego:  \n 02 + (t −1) 2 + (t − 3) 2  = (−1) 2 + t 2 + t 2  ⇒ t 2 + 1− 2t + t 2 + 9 − 6t = 1 + t 2 + t 2 ⇒ t =  9 8  \n􀀍 17 9  􀀎 Luego, el punto pedido es: C 􀀑􀀏 1, 8 , 8 􀀒􀀐  \nConsidera los puntos A (0, 3, −− 1) y B (0,1, 5) .  \na) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A (0, 3, −− 1) , B (0,1, 5) y C ( x, 4, 3) tiene un ángulo recto en C.  \nb) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo a la recta  \n􀀈x − y + z = 0  \ndefinida por las ecuaciones 􀀉 .  \n􀀊2x + y = 3  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \n→ →  \na) Como el ángulo recta está en C, los vectores CA y CB , son perpendiculares, luego su productoescalar vale cero.  \n→  \nCA = (− x, −1, − 4)  \n→  \nCB = (− x, −3, 2)  \n→ →  \nCA⋅CB = 0 ⇒ (− x, −1, − 4) ⋅(− x, − 3, 2) = 0 ⇒ x 2 + 3 −8 = 0 ⇒ x = ± 5  \nb) Calculamos el vector director de la recta.  \n→  \ni 1  \n2  \n→  \nj  \n−1  \n1  \n→  \nk 1  \n0  \n→ → → →  \n= 2 j+ k + 2 k − i = (−1, 2, 3)  \nCalculamos el vector que une los puntos (0,1,5) y (3, 4, 3) .  \n→  \nu = (3, 4,3) − (0,1,5) = (3, 3, − 2)  \n→ →  \nEl plano que nos piden viene definido por el punto (0,1,5) y los vectores u = (3, 3, − 2) y v = (−1, 2,3)  \n\n| x − 0 | 3 | −1 |\n| --- | --- | --- |\n| y −1 | 3 | 2 |\n| z − 5 | − 2 | 3 |\n\n= 9x + 6z − 30 + 2 y − 2 + 3z −15 − 9 y + 9 + 4x = 13x − 7 y + 9z − 38 = 0  \nx − 2 y − k z x + 2 y − 1 z − 3  \nSea r la recta definida por  3  =  4  =  5 y s la recta definida por  −− 1  =  2  =  3   \na) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.  \nb) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.  \nMATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 4.OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos un punto y vector director de cada recta.  \nx~~ ~~−3~~ ~~2 = ~~ ~~y~~ ~~−4k = ~~ ~~z5 ⇒ A = (2, k, 0) ; →u = (3, 4, 5) x12 = ~~ ~~y~~ ~~1 = ~~ ~~z~~ ~~−33 ⇒ B = (−2,1, 3) ; →v = (−1, 2,3)  \n→ → →  \nLas rectas se cortan si el determinante de AB = (−4,1− k, 3) ; u y v vale cero, luego:  \n\n| −4 | 3 | −1 |\n| --- | --- | --- |\n| 1− k | 4 | 2 |\n| 3 | 5 | 3 |\n\n= 0 ⇒ 14k +8 = 0 ⇒ k = − ~~ ~~47  \n→ →  \nb) El plano viene definido por el punto B y los vectores u y v , luego, su ecuación será:  \n\n| x + 2 | 3 | −1 |\n| --- | --- | --- |\n| y −1 | 4 | 2 |\n| z − 3 | 5 | 3 |\n\n= 0 ⇒ x − 7 y + 5z − 6 = 0  \nHalla la ecuación de la recta cont","cbCait5miPSFe0ek","https://ap.wps.com/l/cbCait5miPSFe0ek","pdf",822761,7,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 3: Espacio afín y Euclídeo\n## Junio - Ejercicio 4 (Opción A)\n## Junio - Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 1 - Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 1 - Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 2 - Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 2 - Ejercicio 4 (Opción B)\n## Septiembre - Ejercicio 4 (Opción A)\n## Septiembre - Ejercicio 4 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Cómo se determina una recta que pasa por un punto y no corta a dos planos dados?\",\"answer\":\"Se impone que la recta sea paralela a la recta intersección de ambos planos. Con ello se calcula el vector director de la intersección y se ajusta la recta para que pase por el punto requerido.\"},{\"question\":\"¿Qué procedimiento se usa para hallar puntos equidistantes de dos puntos y que pertenezcan a una recta de intersección de planos?\",\"answer\":\"Se parametrizan los puntos sobre la recta de intersección de los planos, y se impone la igualdad de distancias a los dos puntos dados mediante la comparación de módulos de vectores. La igualdad conduce a una ecuación para el parámetro.\"},{\"question\":\"¿Cómo se establecen condiciones cuando una recta es perpendicular o está contenida en un plano?\",\"answer\":\"Para perpendicularidad, el vector director de la recta y el vector normal del plano deben ser proporcionales. 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