[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72334-es":3,"doc-seo-72334-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72334,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio Afín y Euclídeo - Matemáticas II 2006 (Problemas Resueltos)","Colección de problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2006) del Tema 3: Espacio afín y Euclídeo. Incluye apartados sobre posición relativa entre recta y plano según un parámetro, obtención de planos que contienen una recta con condiciones de perpendicularidad o paralelismo, y construcción de planos asociados a una recta que contienen un punto dado. También aparecen ejercicios sobre independencia lineal y ortogonalidad de vectores dependientes de un parámetro, y cálculo de intersecciones de rectas parametrizadas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3 , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nConsidera el plano π de ecuación 2x + y − z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x5 = y = ~~ ~~z~~ ~~6 a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.  \nb) Para m = −−3 , halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π .  \nc) Para m = −−3 , halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π . MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nx − 5 z − 6 􀀃 x + 2 y = 5  \na) Podemos pasar la ecuación de la recta r a implícitas ~~ ~~ = y = ~~ ~~ ⇒ 􀀆  \n−2 m 􀀇mx + 2z = 12 + 5m  \n2x + y − z = −2 􀀈􀀉  \nEstudiamos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano x + 2 y = 5 􀀊  \nmx + 2z = 12 + 5m 􀀋􀀉  \n2 1 −1  \n A  =  1 2 0  = 6 + 2m = 0 ⇒ m = − 3  \nm 0 2  \n\n|  | R(A) | R(M) |  |\n| --- | --- | --- | --- |\n| m = − 3 | 2 | 3 | Recta paralela al plano. |\n| m ≠ − 3 | 3 | 3 | Recta secante al plano. |\n\nb) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es:  \nx + 2 y − 5 + k (−3x + 2z + 3) = 0 ⇒ (1− 3k) x + 2 y + 2kz − 5 + 3k = 0  \nEl vector normal de este plano (1− 3k , 2, 2k) y el vector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar vale 0.  \n(1− 3k , 2, 2k) ⋅(2 ,1, −1) = 0 ⇒ 2 − 6k + 2 − 2k = 0 ⇒ k = ~~ ~~12  \nSustituyendo, tenemos que el plano pedido es: − x + 4 y + 2z − 7 = 0 c) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es:  \nx + 2 y − 5 + k (−3x + 2z + 3) = 0 ⇒ (1− 3k) x + 2 y + 2kz − 5 + 3k = 0  \nEl vector normal de este plano (1− 3k , 2, 2k) y el vector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que ser paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales.  \n1− 3k =  2 =  2k ⇒ k = − 1  \n2 1 −1  \nSustituyendo, tenemos que el plano pedido es: 4x + 2 y − 2z − 8 = 0  \n􀀅x + y − z − 3 = 0  \nConsidera el punto P (3, 2, 0) y la recta r ≡ 􀀈  \n􀀉 x + 2z + 1 = 0  \na) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r.  \nb) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x + y − z − 3+ k (x + 2z + 1) = 0 . De todos esos planos nos interesa el que pasa por el puntoP(3, 2, 0) , luego:  \n3 + 2 − 0 − 3 + k (3+ 0 + 1) = 0 ⇒ k = − ~~ ~~12 por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación:  \nx + y − z − 3 − 12 (x + 2z + 1) = 0 ⇒ x + 2 y − 4z − 7 = 0  \nb) El punto Q simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto Q hasta dicha recta.  \nP  \nM  \nQ  \n􀀅x  \nPasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica r ≡ 􀀈  \n􀀉  \n+ y − z − 3 x + 2z + 1  \n= 0  \n⇒  \n= 0  \n􀀅x = − 1− 2t 􀀆  \nr ≡ 􀀈 y = 4 + 3t 􀀉􀀆 z = t  \nCalculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (−2,3,1)  \nLa ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: −2x + 3y + z + D = 0 . Como nos interesa el que pasa por el punto P(3, 2, 0) : −2 ⋅3+ 3⋅ 2 + 0 + D = 0 ⇒ D = 0 ⇒ −2x + 3y + z = 0  \nCalculamos las coordenadas del","cbCaiiYDXpY3rpNi","https://ap.wps.com/l/cbCaiiYDXpY3rpNi","pdf",936409,6,1,14,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1, Ejercicio 3\n## Opción A\n# Reserva 1, Ejercicio 4\n## Opción A","[{\"question\":\"Cómo se determina la posición relativa de una recta y un plano en función de un parámetro?\",\"answer\":\"Se construye el sistema entre las ecuaciones implícita de la recta y la ecuación del plano para estudiar el tipo de solución. 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