[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72338-es":3,"doc-seo-72338-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72338,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio Afín y Euclídeo (Matemáticas II) 2009 Selectividad Andalucía","Conjunto de enunciados y resoluciones de Matemáticas II de Selectividad Andalucía 2009 centradas en el Tema 3: espacio afín y euclídeo. Incluye ejercicios de June y periodos de reserva, con opciones A y B, sobre rectas y planos en el espacio: ecuaciones paramétricas e implícitas, paralelismo y perpendicularidad, posición relativa (secantes), obtención de rectas perpendiculares comunes y cálculos de planos a partir de puntos, vectores directores, normales e intersecciones. Se desarrollan mediante sistemas, rangos y productos escalares.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n􀀑x = 1 􀀑x = µ  \nSe considera la recta r definida por r ≡ 􀀒􀀒 y = 1 y la recta s definida por s ≡ 􀀔􀀒􀀒 y = µ − 1 . Halla la  \n􀀒􀀕􀀒􀀕􀀕z = λ − 2 􀀕􀀒􀀕􀀒􀀕􀀒 z = −− 1  \necuación de la recta perpendicular común a r y s.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas A = (1,1, λ − 2 ) y cualquier punto de la recta stendrá de coordenadas B = ( µ , µ − 1, −1) .  \nEl vector →AB tendrá de coordenadas: →AB = ( µ − 1, µ − 2, −λ +1)  \n→  \nComo el vector AB tiene que ser perpendicular a la recta r y s se debe cumplir que:  \n→AB⋅ →u = 0 ⇒ −λ +1 = 0  \n→ →  \nAB ⋅ v = 0 ⇒ µ −1+ µ − 2 = 0  \nResolviendo las dos ecuaciones, obtenemos que λ = 1 y µ = ~~ ~~32 .  \nLuego, la recta que nos piden pasa por el punto A = (1,1, −1) y su vector director es el → = 􀀋􀀍􀀏 ~~ ~~12 , − ~~ ~~12 , 0􀀌􀀐􀀎 = (1, −1, 0)  \nAB  \nLa perpendicular común tiene de ecuación: x~~ ~~−1~~ ~~1 = ~~ ~~y1 = ~~ ~~z~~ ~~+0~~ ~~1  \nOtra forma: r ≡ 􀀔􀀑􀀒 xy  11 ⇒ 􀀔􀀒􀀑 = (1,1, − 2) s ≡ 􀀔􀀑􀀒 xy  µµ −1 ⇒ 􀀔􀀒􀀑 = (0, −1, −1)  \n􀀕􀀒 z = λ − 2 􀀒􀀕u = (0, 0,1) 􀀕􀀒 z = − 1 􀀒􀀕v = (1,1, 0)  \nCalculamos el vector u ∧ v =  0 0 1  = (−1,1, 0)  \n→ → →  \ni j k  \n→ →  \n1 1 0  \nx −1 0 −1  \nCalculamos el plano determinado por (A, u , u ∧ v) =  y −1 0 1  = x + y − 2 = 0  \n→ → →  \nz + 2 1 0  \nx 1 −1  \nCalculamos el plano determinado por (B, v , u ∧ v) =  y + 1 1 1  = z + 1 = 0  \n→ → →  \nz + 1 0 0  \nx + y − 2 = 0 􀀗  \nLuego, la perpendicular común es: 􀀘  \nz + 1 = 0 􀀙  \n􀀃x + y = 2  \nConsidera la recta r definida por 􀀅 y la recta s que pasa por los puntos A(2,1, 0)  \n􀀆y + z = 0  \nyB(1, 0, −− 1) .  \na) Estudia la posición relativa de ambas rectas.      \nb) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares. MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos las ecuaciones implícitas de la recta s.  \nx − 2   y −1  z  􀀃x − y = 1 = = ⇒ 􀀅  \n−1 −1 −1 􀀆x − z = 2  \n􀀃x + y = 2  \n􀀈 y + z = 0  \nFormamos el sistema con las ecuaciones de las dos rectas: 􀀅 y calculamos el rango de la  \n􀀈 x − y = 1  \n􀀈􀀆x − z = 2  \nmatriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada del sistema. Como sale que el rango(A) = 3 yel rango (M) = 3, las dos rectas son secantes.  \n→  \nb) Cualquier punto C tiene de coordenadas C(2 − t, t, − t) . Calculamos los vectores CA = (t,1− t, t) y →  \nCB = (−1 + t, − t, −1+ t) , y como tienen que ser perpendiculares, tenemos:  \n→CA⋅ →CB = 0 ⇒ 3t2 − 3t = 0 ⇒ t = 0 ; t = 1  \nLuego el punto C puede ser: C(2, 0, 0) ; C(1,1, −1)  \nx + y = 2 􀀎  \nConsidera el punto A(1, −− 2,1) y la recta r definida por las ecuaciones 􀀏  \n2x + y + z = 7 􀀐  \na) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.  \nb) Calcula la distancia del punto A a la recta r.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Pasamos la recta r a paramétricas r ≡ 􀀈􀀃􀀉x2y=+2z = 7 ⇒ r ≡ 􀀈􀀉􀀅􀀃􀀅 xyz −3 t  \nEl plano tiene como vector normal el vector director de la recta (−1,1,1) , luego, su ecuación será:  \n− x + y + z + D = 0  \ny, como debe pasar por el punto A = (1, − 2,1) , se debe cumplir:  \n−1⋅1+ 1⋅ (− 2) + 1⋅1 + D = 0 ⇒ D = 2  \nPor lo tanto, el plano pedido tendrá de ecuación:  \n− x + y + z + 2 = 0  \nb) Calculamos el punto de corte de la recta con el plano  \n− (5 − t) + (−3 + t) + t + 2 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ P = (3, −1, 2)  \n→  \nLa distancia es el módulo del vector PA , lu","cbCaiaCtlFfMNo8b","https://ap.wps.com/l/cbCaiaCtlFfMNo8b","pdf",828365,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 3: Espacio afín y euclídeo\n## Junio 2009, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Junio 2009, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 3, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 3, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Reserva 4, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Reserva 4, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Septiembre, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Septiembre, Ejercicio 4 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Cómo se determina la recta perpendicular común entre dos rectas en el espacio?\",\"answer\":\"Se parametrizan o expresan rectas en forma adecuada, se calcula un vector entre puntos de ambas y se imponen condiciones de perpendicularidad mediante productos escalares con vectores directores. 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