[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72341-es":3,"doc-seo-72341-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72341,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio Afín y Euclídeo 2011 Matemáticas II Tema 3 Ejercicios Resueltos","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2011), tema “Espacio afín y euclídeo”. Incluye determinación del punto simétrico de un punto respecto a una recta, planos paralelos a una recta y comprobación de pertenencia de rectas a un plano, cálculo de un punto que forma un triángulo rectángulo, obtención de áreas mediante vectores y producto vectorial, y trazado de rectas a partir de intersecciones de planos con condiciones de paralelismo. Se desarrollan ecuaciones paramétricas, vectores directores, normales, intersecciones y verificaciones numéricas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nDetermina el punto simétrico del punto A (− 3,1, 6) , respecto de la recta r de ecuaciones: x − 1 = ~~ ~~y~~ ~~+2~~ ~~3 = z~~ ~~+2~~ ~~1 .  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nx = 1+ t ⎫  \nPasamos la recta a paramétricas: x −1 = ~~ ~~y~~ ~~+2~~ ~~3 = ~~ ~~z~~ ~~+2~~ ~~1 ⇒ y = −3 + 2t ⎪⎬  \nz = − 1+ 2t ⎭⎪  \nEl punto A' simétrico del punto A respecto de una recta está situado en un plano que pasando por el punto A es perpendicular a dicha recta y además la distancia que hay desde el punto A a la recta es lamisma que la que hay desde el puntoA' hasta dicha recta.  \nA  \nM  \nA’  \nCalculamos la ecuación del plano que pasando por el punto A es perpendicular a la recta. Como la rectaes perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (1,2,2)  \nLa ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x + 2y + 2z + D = 0 . Como nosinteresa el que pasa por el punto A (− 3,1, 6)  \n− 3 + 2 ⋅1+ 2 ⋅ 6 + D = 0 ⇒ D = − 11 ⇒ x + 2y + 2z −11 = 0  \nCalculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: (1 + t) + 2(−3 + 2t) + 2(−1+ 2t) −11 = 0 ⇒ t = 2  \nluego las coordenadas del puntoM son: x = 1+ 2 = 3; y = − 3 + 4 = 1; z = − 1+ 4 = 3  \nComo el punto M es el punto medio del segmento AA', si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del punto A', se debe verificar que: −~~ ~~32+~~ ~~a = 2; a = 9 ; 1~~ ~~+2b = 1;b = 1 ; 6~~ ~~+2~~ ~~c = 3; c = 0  \nLuego, el punto simétrico es: ( 9,1, 0 ) .  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n⎧ x + y = 1  \nConsidera los puntos A = (1, 0, −1) y B = (2,1, 0) y la recta r dada por ⎨  \n⎩ x + z = 2  \na) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa porA y B.  \nb) Determina si la recta que pasa por los puntos P = (1, 2,1) y Q = (3, 4,1) está contenida endicho plano.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos el vector director de la recta r.  \nG G G  \ni j k  \n1 1 0  = (1, −1, −1) = u  \n→  \n1 0 1  \n→ →  \nEl plano que nos piden viene definido por el puntoA, el vector AB = (1,1,1) y el vector u = (1, −1, −1) y su ecuación es:  \n\n| x −1 | 1 | 1 |\n| --- | --- | --- |\n| y | 1 | −1 |\n| z +1 | 1 | −1 |\n\n= 0 ⇒ 2y − 2z − 2 = 0 ⇒ y − z −1 = 0  \nb) Si la recta que pasa por P y Q está contenida en el plano eso quiere decir que los puntos P y Q son del plano. Vemos que el punto P si verifica la ecuación del plano, pero el punto Q no laverifica, luego, la recta que pasa por P y Q no está contenida en el plano.  \n2 −1−1 = 0 ⇒ P está en el plano  \n4 −1−1 ≠ 0 ⇒ Q no está en el plano  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nConsidera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, − 1) .  \nx − 1 y  \na) Halla un punto C de la recta de ecuación = = z que verifica que el triángulo de vértices  \n3 2  \nA, B y C tiene un ángulo recto en B.  \nb) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano deecuación 2x − y + 3z = 6 con el eje OX.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Si pasamos la recta a paramétricas, cualquier punto C tendrá de coordenadasC = (1 + 3t, 2t, t ) . Como el triángulo es rectángulo en B, los vectores ","cbCaibFSUq4NB5uo","https://ap.wps.com/l/cbCaibFSUq4NB5uo","pdf",154693,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 3: Espacio afín y Euclídeo\n## Junio, Ejercicio 4, Opción A\n## Junio, Ejercicio 4, Opción B\n## Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A\n## Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B\n## Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A\n## Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B\n## Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A\n## Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B\n## Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A\n## Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B\n## Septiembre, Ejercicio 4, Opción A\n## Septiembre, Ejercicio 4, Opción B","[{\"question\":\"Cómo se determina el punto simétrico de un punto respecto a una recta en 3D?\",\"answer\":\"Se construye el plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta, se halla el punto de intersección con la recta y se usa que el punto medio del segmento entre el punto original y el simétrico está en esa intersección.\"},{\"question\":\"Qué pasos se siguen para hallar la ecuación de un plano paralelo a una recta y que pasa por dos puntos?\",\"answer\":\"Se obtiene un vector director de la recta para caracterizar la orientación del plano, se usan vectores entre los puntos dados para fijar el plano y se formula la ecuación con una forma equivalente a un sistema o determinante; 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