[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72335-es":3,"doc-seo-72335-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72335,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Espacio Afín y Euclídeo 2005 Matemáticas II Ejercicio 4 Selectividad Andalucía","Problemas resueltos de Matemáticas II del examen de Selectividad de Andalucía (2005) correspondientes al Tema 3: Espacio afín y euclídeo, Ejercicio 4 con varias opciones y reservas. El contenido desarrolla el cálculo de ecuaciones de planos que contienen rectas o puntos y que cumplen condiciones de perpendicularidad, además de hallar puntos simétricos mediante intersecciones y relaciones de punto medio. También aborda dependencia lineal con determinantes, combinaciones lineales y construcción de vectores perpendiculares y unitarios.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n􀀌x + 2 y = 6  \nConsidera el punto P (2, 0,1) y la recta r ≡ 􀀎  \n􀀏z = 2  \na) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r.  \nb) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x + 2 y − 6 + k (z − 2) = 0 . De todosesos planos nos interesa el que pasa por el punto P(2, 0,1) , luego: 2 + 2 ⋅ 0 − 6 + k(1− 2) = 0 ⇒ k = −4 por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación: x + 2 y − 6 − 4(z − 2) = 0 ⇒ x + 2 y − 4z + 2 = 0  \nb) El punto P’simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto P’hasta dicha recta.  \nP  \nM  \nP’  \nCalculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (−2,1, 0)  \nLa ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: −2x + y + D = 0 . Como nos interesa  \nel que pasa por el punto P(2, 0,1) : −2 ⋅ 2 + 0 + D = 0 ⇒ D = 4 ⇒ −2x + y + 4 = 0  \nCalculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: −2(6 − 2t) + t + 4 = 0 ⇒ t = ~~ ~~85  \nluego las coordenadas del punto M son: x = 6 − 2 ⋅  8 =  14 ; y =  8 ; z = 2  \n5 5 5  \nComo el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del  \n2 + a   14   18   0 + b   8   16   1 + c  \npunto P', se debe verificar que: = ; a = ; = ;b = ; = 2; c = 3  \n2 5 5 2 5 3 2  \n􀀆  18 16  􀀇  \nLuego el simétrico es: P ' = 􀀊􀀈 5 , 5 , 3􀀋􀀉  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \nSean los vectores: v1 = (0,1, 0) , v2 = (2,1, − 1) y v3 = (2, 3, − 1) .  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \na) ¿Son los vectores v1 , v2 y v3 linealmente dependientes?.  \nb) ¿Para qué valores de a el vector (4, a + 3, − 2) puede expresarse como combinación lineal de  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \nlos vectores v1 , v2 y v3 ?.  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \nc) Calcula un vector unitario y perpendicular a v1 y v2 .  \nMATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀂 􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀂  \na) Los vectores v1 , v2 y v3 son linealmente dependientes si det (v1 , v2 y v3 ) = 0  \n0 1 0  \n2 1 −1  \n2 3 −1  \n= 0 − 2 + 0 − 0 + 2 + 0 = 0 ⇒ Dependientes  \nb) Dado que los vectores 1 ,  y  son dependientes, para que el vector  = (4, a + 3, −2) se  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀁􀀂  \npueda expresar como combinación lineal dev1 , v2 y v3 , basta que se pueda expresar como  \n􀀂 􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \ncombinación lineal de dos de ellos, es decir, que det (u , v1 y v2 ) = 0 .  \n\n| 0 | 1 | 0 |\n| --- | --- | --- |\n| 2 | 1 | −1 |\n| 4 | a + 3 | −2 |\n\n= 0 − 4 + 0 − 0 + 4 + 0 = 0 ⇒ Para cualquier valor de a el determinante vale cero,  \nluego el vector  depende linealmente de 1 ,  y  y se puede expresar como combinación lineal de ellos.  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂  \nc) Para calcular un vector perpendicular a v1 y v2 , hacemos su producto vectorial.  \n→ → →  \ni j k 0 1 0 2 1 −1  \n→ → → → → →  \n= − i + 0 j+ 0 k − 2 k+ 0 j − 0 i = (−1, 0, −2)  \nComo además queremos que sea unitario, bastará con dividir dicho vector por su módulo  \nmódulo(−1, 0, −2) = (−1)2 + 02 + (−2)2  = 5  \n􀀁􀀂 􀀁􀀁􀀂 􀀆  1   2 􀀇 􀀆 1   2","cbCaigpFkT84axhN","https://ap.wps.com/l/cbCaigpFkT84axhN","pdf",858290,6,1,14,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 2, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 3, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 4, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Septiembre, Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B","[{\"question\":\"¿Cómo se halla la ecuación del plano que contiene un punto y una recta en el ejercicio de Junio Opción A?\",\"answer\":\"Se plantea el haz de planos con parámetro k que contienen la recta. 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